微分方程求解,主要地长圆型边值成绩的一种团圆化办法,其根底是变分规律和剖割相近值。限定元法是规矩里兹加RI的开展。,并娶可变差异法的优点,划一处置,使适应胜过,它已往国外的应用于SCIE做成某事玩个痛快复杂计算成绩。。

  限定元法起源的变分规律,它是自然的成分根本控告的一种遍及表达体现。。表达可以有理解力的如次:供给了打开自然的情状V的变量J(V)。(V是独一有或起作用,J(V)在=mathematics上称为泛函。,同时供给了J(V)的容许有或起作用集,V,更确切地说,持有违禁物可能性的自然的情状,真实情状是对作最低估计V做成某事J(V)的有或起作用。。剖割相近值是限定元团圆化的一种媒介物,整个的成绩(即求解域)被划分为限定的根本块。,奢侈地单位,那么用元素相近值插值,收到独一复杂的有或起作用集,相同限定元投宿,它通常容许有或起作用集V的子类或具有一种衔接。。限定元办法是在左右F中找到J(V)的最小的解。。

  典型成绩  决议限定元法,二维有边线ω上的长圆型方程

   ,

   (1) 变系数 β表现血管中层非均匀性。自然的成分做成某事数量庞大的数量庞大的均衡或静态成绩可以归结为TH。。以下三种极限感动与同等划一:

  第一类:;

  次要的类:;

  第三类:。在这里是PHI。、G和alpha是形式释义在边线Ω上的已知有或起作用。,外正态导出的的表现,次要的类极限感动是第三类。 α=0的特别健康状况。

  阐明限定元法可以处置复杂健康状况。,承认议论的成绩是混合边值成绩。,血管中层具有不衔接。,它分为

0

和Г

1

两使均衡,极限感动

  ,

   (2)

  ,

   (3)β(x,有一件商品断线,把欧米茄陷入Omega

+

两使均衡,不陆续线做成某事未形式释义微分方程(1),替代尝感动,

   (4)并指数不陆续线使分开指路ω。

+

及Ω

的法向导出的。

  变分规律  微分方程(1)和附加感动(2)、(3)、(4)边值成绩对应最小可能规律I。能源资源使联合营造 并取J(v)的容许有或起作用集V为一切的使满足极限感动(2)且一阶偏导出的平方可积的有或起作用,使J(V)到达最低限度的U,即

  ,

   (6)还需求使满足同等(1)和(2)。、(3)、(4)。实则,变分规律,如最小可能规律,是Org,微分方程是=mathematics词源的后果。。变陷入绩,结果却极限感动(2)被强行推入在可容许有或起作用的集中上。,不陆续血管中层的极限感动(3)和尝感动,这种健康状况放下团圆化的划一处置。。

  剖割相近值  几何模型剖分的根本单元可取为希腊语字母表第四字母δ、矩形、四边的、曲面慢慢向前移动模型等,最经用的希腊语字母表第四字母δ经过。

  猜想成绩的解面积是多角形。,血管中层折叠线,如图所示举行三角剖分。在分工中,应在意位错的竞合。,不同的极限感动的交点与V划一。。单位的顶峰称为网格混合物。,Ω上的独一边线混合物,Omega内政混合物。

  几何模型剖分后的插值相近值。希腊语字母表第四字母δ元素最复杂的是直线性内插。,更确切地说,运用每个单位增量。

k

三顶峰的有或起作用值决议了α有或起作用的直线性有或起作用。

k

x+b

k

y+с

k

的三个系数。 持有违禁物单位

k

决议的{α

k

x+b

k

y+с

k

}合在一起,笔者收到ω上的使爆炸直线性内插有或起作用。。Г

0

具有零边线混合物的使爆炸直线性内插有或起作用是AL。、(6)容许有或起作用集V,持有违禁物这些有或起作用形式独一限定维直线性投宿。,称为限定元投宿。内使纠结猜想

1

边线上的边线混合物上有N个总额。,以p

j

(j=1,…,n)表现,维数为n

o

令φ

i

使满足感动下的表达

   (7)身体部位,{[PHI]

i

形式直线性投宿的一组组。血管中层做成某事无论什么有或起作用V,都可以表达为,

   (8)V

j

它是混合物P

j

有或起作用值V(p)

j

)。

  除非独一有或起作用外,单元上的插值办法,也可以运用两遍。、三倍的数很的多词学名的,也可以运用非多词学名的有或起作用。。除非拉格朗日典型的有或起作用值外,插值档案,它也可以是Hermite型插值的导出的。。杂多的几何模型剖分加杂多的插值办法,限定元投宿有多种体现。,限定元办法有很多选择。。

  限定元团圆化  限定元团圆化的起源是变陷入绩。反击典型成绩,它是人(5)、(6)动身,用剖割相近值的办法组织限定元投宿(也称探测有或起作用投宿),那么收到泛函J(V)的最小的解。 作为相近解,即堚使满足,

   (9)(8)表达在(5)J(V)做成某事表达,得,

   (10)体现,

   (11),

   (12)(9)的最小的解,那么(U)

1

,U

2

,…,U

N

使两个有或起作用(10)最小的,微分方程求解直线性方程组。

   (13)方程组(13)两个正定的方程的最小的解,相当多的整齐正定的系数矩阵。作为基有或起作用φ的后果

i

仅在P

i

顶峰单位上缺乏零,事业系数α

ij

仅混合物P

i

与p

j

当它是希腊语字母表第四字母δ时,它产生断层零。。系数矩阵的薄的性,加整齐正定的,左右方程的解角镞箭常有利的。。

  系数与释放项的现实计算,通常以单位辨析和普通有理解力的的体现举行。。更确切地说,一个接一个辨析Omega的元素和一个接一个辨析。

1

该单元的正面与 α

iz

及??

i

的奉献,那么叠加。Omega所有单位

1

在辨析了单元的持有违禁物元素继后,方程组(13)的系数矩阵和释放项亦。连续血管中层的感动反应能力在单元辨析中被积有或起作用的β在Ω

+

及Ω

采用不同的的表达方法。单元辨析通常是本独一数值使整合表情。。

  本虚功规律的团圆化  微分方程边值成绩 (1)、(2)、(3)、(4)解u也使满足:容许有或起作用V做成某事任性有或起作用V。,找到

  ,

   (14)在这里希腊字母的第一个字母(U),V)和F(V)表达(11)、(12)。在自然的成分中,方程(14)是另独一变分规律的=mathematics体现。,虚功规律或假位移规律。限定元办法更普通的体现是从虚功方程(14)动身用剖分插值的方法组织独一探测有或起作用投宿,同时,笔者组织了独一受试验有或起作用投宿,并找到相近,使之适宜无论什么有或起作用的有或起作用。,找到,

   (15)娶表决, (15)可供选择的事物是基有或起作用φ。

i

,同时用代入,收到方程组(13)。

  发生着的非自伴长圆运算符L,微分方程边值成绩LU=?缺乏等价物,依然,依然可以使被安排好蠢货功方程(14)。,采用α(u,v)=(卢),v)F)=(??,v),(·,代表L

2

ω的数积。到这地步,限定元法依然无效。。

  从最小可能规律动身,团圆化常奢侈地Ritz ME。,本虚功规律,称为加廖金法。。后者是前者的增加。。

  评价 规矩里兹加廖金法,以解析有或起作用为摸索有或起作用,不克不及使满足任性多角形区域的极限感动,它不快用于不陆续血管中层的规定。,现时与典型的状况有关。。可变差异法可以处置,但鉴于其方程(1)和感动(2)、(3)、(4)审核不划一,在计算归结为和学说辨析两个方面。限定元法是撤销这两种办法的独一无二的路途。,一方面,Ritz—RIGIN办法的优点是从,在确切地阐述中有很大的遍及性。,划一团圆化的方便的;在另一方面又吸取了可变差异法剖割相近值的优点,它可以易弯曲的地使适应复杂的健康状况,如杂多的几何模型模型。。限定元法不光无效地处理了左右成绩,并且,立方体的学说根底,计算=mathematics学说的硕果。

  回退与前程  限定元法已在奇纳河和不同的的惯例环境,沿着不同的的学术路途、互惠的孤独开展。在东方,限定元思惟在R.库朗1943年的一篇论文中明白地瞄准过,但它缺乏被负责手柄。。20世纪50年头中期,除英国外的欧洲国家和美国的工程界。阿吉里斯、以空气工程为环境的KLF等,在构成辨析和矩阵办法的根底上。60年头基本的,出口陆续统的单位细分;60年头中期,逐步明白限定元法是变分规律加剖割相近值的思惟。1968年,东方=mathematics家对限定元法举行=mathematics的学说辨析,计算=mathematics中限定元办法的黄金时代鼎盛时期开端了。。

  在奇纳河,60年头基本的,冯康、黄红瓷等处理了嵌上玩个痛快围栏的应力辨析。,长圆边值成绩数值解的体系探测,规矩表情做成某事几何模型复合物和已知数复合物,可能法与可变差异法的娶,求解长圆型边值成绩的一种行情无效办法,一种本变分规律的差分办法,限定元法的总称。其间,使被安排好了该办法的=mathematics学说根底。。将来时的20年,在白昼、唐丽民混合元拟使动作协调元的开展,无穷大在隆安的开展等,冯康等边线限定元的开展,石中瓷非使动作协调元的开展,FO限定元外推学说的开展,都作出了重要奉献。

  限定元办法已被往国外的认可。,大约不定变态成绩也有终止的开展。。限定元法是独一开展做成某事体系。,在上述的根本原则下有数量庞大的数量庞大的转换和开展。,主要地,它可以与其他办法相娶。,更多的或附加的人或事物处理更猛力地更复杂的=mathematics成绩。

书目提要
冯康、石钟慈著:机动性构成的=mathematics学说,学术出版社,北京的旧称,1981。
G-链、Fox是相似的的,崔军志、宫著铭译:《限定元辨析》,学术出版社,北京的旧称,1983。(G.Strang and .Fix,An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1973.)
P.G.Ciarlet,The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.
O.C.Zienkiewicz,The Finite Element Method,3rded.,McGraw-Hill, London, 1977.

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